Question

已知数列的各项均为正数，记,,

.

（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.

（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由三个数是等差数列，可得.根据定义可知即。变形为 ，由等差数列的定义可知，数列是首项为１，公差为４的等差数列。从而可得其通项公式。（2）若对于任意，三个组成公比为的等比数列，则，由得将上式变形整理根据等比数列的定义可证得数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则对任意，有.根据已知可证得＝，从而三个数组成公比为的等比数列.

解: （1)因为对任意，三个数是等差数列，

所以. 1分

所以, 2分

即. 3分

所以数列是首项为１，公差为４的等差数列. 4分

所以. 5分

（2）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则

. 6分

所以得

即. 7分

因为当时，由可得， 8分

所以.

因为，

所以.

即数列是首项为，公比为的等比数列， 9分

（２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有

. 10分

因为，

所以均大于.于是

11分

12分

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列. 13分

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列. 14分

考点：1等差数列的定义及通项公式；2等比数列的定义。