Question

已知正四棱柱中，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）连结交于，连结，在正四棱柱中底面为正方形，所以可知为的中点，因为是的中点，由中位线可得∥.根据线面平行的判定定理即可证得平面。（2）由正四棱柱可知侧棱垂直与底面，从而可得侧棱垂直与，因为底面为正方形可得，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得证。（3）取的中点，连结，可证得为平行四边形，从而得到，当为中点时，同理可证的为平行四边形，从而可得，由平行公理可知，在证也为平行四边形，从而可证得，根据面面平行的判定定理可证得平面平面，此时。

【解析】
（1）在正四棱柱中,连结交于，连结.

因为为正方形，

所以为中点. 1分

在中，

因为为中点，

所以∥. 2分

因为平面，平面， 4分

所以∥平面. 5分

（2） 因为为正方形，

所以. 6分

因为平面，

所以. 7分

因为, 8分

所以平面. 9分

因为，

所以. 10分

（3）当，即点为线段的中点时，平面平面. 11分

因为且，

所以四边形是平行四边形.

所以. 12分

取的中点，连结.

因为为中点，

所以且，

所以四边形是平行四边形.

所以. 13分

同理.

所以.

因为，，

所以平面平面. 14分

考点：1线面平行、面面平行；2线线垂直、线面垂直。