Question

已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。法一：将代入椭圆方程，结合且，解方程组可得的值。法二：根据椭圆的定义求点到两焦点的距离的和即为，再根据关系式求得。（2）设过点的直线的斜率为,显然（注意讨论直线斜率存在与否）。当直线的斜率不存在时，直线方程为，将代入椭圆方程可得的纵坐标，从而可得，根据椭圆图像的对称性可知，因此可得。当直线斜率存在时设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，消去（或）得关于的一元二次方程，从而可得根与系数的关系。根据弦长公式求，再用点到线的距离公式求点到直线的距离，所以。最后根据基本不等式求其范围即可。

【解析】
（1）因为为的中点，为的中点，，

所以，且. 1分

所以.

因为，

所以. 2分

因为, 3分

所以.

所以椭圆的方程为. 4分

（2）设过点的直线的斜率为,显然.

（1）当不存在时，直线的方程为，

所以.

因为，

所以. 5分

（2）当存在时，设直线的方程为.

由,消并整理得:

. 6分

设,则

，. 7分

因为

， 8分

又因为点到直线的距离， 9分

所以

10分

设，则

. 11分

因为,

所以.

因为函数在上单调递增， 12分

所以.

所以.

所以.

所以.

所以

所以. 13分

综合（1）（2）可知 . 14分

考点：1椭圆的标准方程；2椭圆与直线的位置关系；3基本不等式。