Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面．

（Ⅰ）若，分别为，中点，求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若，求证：平面平面．

Answer

（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. ，分别为，中点，在△中，是中点，是中点，所以∥．又因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，因为平面底面，且平面平面，又，平面， 所以面．又因为平面，所以．即．（Ⅲ）证明面面垂直，关键找出线面垂直. 在△中，因为，所以．由（Ⅱ）可知，且，

所以平面．又因为平面，所以平面平面．

证明：（Ⅰ）如图，连结．

因为底面是正方形，

所以与互相平分．

又因为是中点，

所以是中点．

在△中，是中点，是中点，

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面． 4分

（Ⅱ）因为平面底面，且平面平面，

又，平面，

所以面．

又因为平面，

所以．即． 9分

（Ⅲ）在△中，因为， 所以．

由（Ⅱ）可知，且，

所以平面．

又因为平面，

所以平面平面． 14分

考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理与判定定理