Question

已知函数（,）.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）,（Ⅱ）时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为.（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ））利用导数的几何意义，在处切线的斜率为即为因为，所以当时，.，又，则曲线在处切线的方程为. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. （1）若，当，即时，函数为增函数；当，即和时，函数为减函数. 若，当，即和时，函数为增函数；当，即时，函数为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，易得，从而.

（Ⅰ）,.

当时，.

依题意，即在处切线的斜率为.

把代入中，得.

则曲线在处切线的方程为. .4分

（Ⅱ）函数的定义域为.

.

（1）若，

当，即时，函数为增函数；

当，即和时，函数为减函数.

（2）若，

当，即和时，函数为增函数；

当，即时，函数为减函数.

综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.

时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为. .9分

（Ⅲ）当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，则.可知在时，，为增函数；

时，，为减函数.则.从而.

另【解析】
(1)当时，，所以不恒成立.

(2)当且时，由（Ⅰ）知，函数的单调增区间为，单调减区间为.所以函数的最小值为，依题意，

解得.

综上所述，． .13分

考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值