Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，是否存在实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）,（Ⅱ）不存在.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由..及，解得，．所以．所以椭圆的标准方程是．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件的实质是垂直关系，即.所以．,

把代入椭圆C:中，整理得.整理得，矛盾．

（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为.

依题意 解得，，所以.

所以椭圆的标准方程是. .4分

（Ⅱ）不存在实数，使，证明如下：

把代入椭圆C:中，整理得.

由于直线恒过椭圆内定点，所以判别式.

设，则,.

依题意，若，平方得.

即,

整理得，

所以,

整理得，矛盾．

所以不存在实数，使. .14分

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系