Question

已知函数对任意都满足，且，数列满足：，.

（Ⅰ）求及的值;

（Ⅱ）求数列的通项公式;

（Ⅲ）若，试问数列是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）,,（Ⅱ）,（Ⅲ）当，即时，的最大项为.当，即时， 的最小项为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对应抽象函数，一般方法为赋值法. 在中，取，得，在中，取，得，（Ⅱ）在中，令，，得，即.所以是等差数列，公差为2，又首项，所以,.（Ⅲ）研究数列是否存在最大项和最小项，关键看通项公式的特征.令，则，显然，又因为，所以当，即时，的最大项为.当，即时， 的最小项为

【解析】
（Ⅰ）在中，取，得，

在中，取，得， 2分

（Ⅱ）在中，令，，

得，即.

所以是等差数列，公差为2，又首项，所以,. 6分

（Ⅲ）数列存在最大项和最小项

令，则，

显然，又因为，

所以当，即时，的最大项为.

当，即时， 的最小项为. 13分

考点：等差数列，赋值法研究抽象函数