Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）（Ⅲ）不存在.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. ，分别为，中点，在△中，是中点，是中点，所以∥．又因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面底面，可得底面的垂线，再作DF的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取中点．由侧面底面易得面．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（Ⅲ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解.

证明：（Ⅰ）如图，连结．

因为底面是正方形，

所以与互相平分．

又因为是中点，

所以是中点．

在△中，是中点，是中点，

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面． 4分

（Ⅱ）取中点．在△中，因为，

所以．

因为面底面，

且面面，

所以面．

因为平面

所以．

又因为是中点，

所以．

如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系．

因为，所以，则，，，，，，，．

于是，，．

因为面，所以是平面的一个法向量．

设平面的一个法向量是．

因为所以即

令则．

所以．

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 10分

（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使面．设，

则． 由（Ⅱ）可知平面的一个法向量是．

因为面，所以．

于是，，即．

又因为点在棱上，所以与共线．

因为，，

所以．

所以，无解．

故在棱上不存在一点，使面成立． 14分

考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角