Question

已知函数，．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． （Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”

易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．

（Ⅰ）由已知得．

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以．所以．

所以． 3分

（Ⅱ）函数的定义域是，．

（1）当时，成立，所以的单调增区间为．

（2）当时，

令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是．

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是，

的单调减区间是． 8分

（Ⅲ）当时，成立，．

“当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”

设，只要“当时，成立．”

．

令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；

令得，，又因为，所以函数在上为增函数．

所以函数在处取得最小值，且．

所以． 又因为，

所以实数的取值范围． 13分

（Ⅲ）另【解析】

（1）当时，由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，所以．

所以当时，有成立．

（2）当时， 可得．

由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，

所以在上单调递增，又，所以总有成立．

（3）当时，可得．

由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，

所以函数在处取最小值，

且．

当时，要使成立，只需，

解得．所以．

综上所述，实数的取值范围．

考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值