Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由及，解得，．所以．所以椭圆的标准方程是．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件的实质是垂直关系，即.所以．,,由得．，．代入化简得，．由化简得．解得，．

由，，所以实数的取值范围是．

（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为.

依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．

解得，．

所以．

所以椭圆的标准方程是． 4分

（Ⅱ）【解析】
存在直线，使得成立.理由如下：

由得．

，化简得．

设，则

，．

若成立，

即，等价于．所以．

，

，

,

化简得，．

将代入中，，

解得，．

又由，，

从而，或．

所以实数的取值范围是． 14分

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系