Question

在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知,.

（1）求证：平面；

（2）求证：∥平面；

（3）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点在线段上，的最小值．

【解析】

试题分析：（1）求证：平面，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面找两条相交直线与垂直，由于底面为菱形，则，又底面，得底面，即，从而得证；（2）求证：∥平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到是的中点，连接,交于点，连接，证得四边形是平行四边形，从而得∥，从而可证∥平面.；（3）连接，则，又在中，,又为中点，所以，得平面，由已知可知，∥，由，得，故点一定在线段上，这样就得到点的轨迹，进而可得的最小值.

试题解析：（1）依题意, 因为四棱柱中，底面，

所以底面.

又底面,所以.

因为为菱形，所以.而，所以平面. 4分

（2）连接,交于点，连接.依题意，∥,且，,

所以为矩形.所以∥.又,,,

所以=，所以为平行四边形，则∥.

又平面，平面,

所以∥平面. 9分

（3）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点.

分析如下：连接，则.

由于∥,故欲使，只需,从而需.

又在中，,又为中点，所以.

故点一定在线段上.当时，取最小值.

在直角三角形中，,,,

所以. 14分

考点：线面平行的判定，线面垂直的判定．