Question

已知椭圆经过点，一个焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

Answer

（1）椭圆的方程是；（2）的取值范围为．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的方程，已知椭圆经过点，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得，利用过点，可得，再由，即可解出，从而得椭圆的方程；（2）求的取值范围，由弦长公式可求得线段的长，因此可设，由得，，则是方程的两根，有根与系数关系，得，，由弦长公式求得线段的长，求的长，需求出的坐标，直线与轴交于点，可得，线段的垂直平分线与轴交于点，故先求出线段的中点坐标，写出线段的垂直平分线方程，令，既得点的坐标，从而得的长，这样就得的取值范围．

试题解析：（1）由题意得解得，．

所以椭圆的方程是． 4分

（2）由得．

设，则有，，

．所以线段的中点坐标为，

所以线段的垂直平分线方程为．

于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，

所以．

又．

于是，．

因为，所以．所以的取值范围为． 14分

考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．