Question

已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在区间的最小值为，求的值．

Answer

（1）当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求函数的单调区间，可利用定义，也可利用求导法，本题含有对数函数，可通过求导法来求函数的单调区间，求函数导函数，令，找出分界点，从而确定函数的单调区间，但由于含有参数，需对参数分，，讨论，从而得函数的单调区间；（2）若函数在区间的最小值为，求的值，求出函数在区间的最小值，令它等于为即可，由（1）可知，当时，函数的单调减区间是，的最小值为，解出，验证是否符合，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为，由于不知函数在区间的单调性，需讨论，，，分别求出函数在区间的最小值，令它等于为，解出，验证是否符合，从而得的值．

试题解析：函数的定义域是， ．

（1）（1）当时，，故函数在上单调递减．

（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．

（3）当时，令，又因为，解得．

①当时，，所以函数在单调递减．

②当时，，所以函数在单调递增．

综上所述，当时，函数的单调减区间是，

当时，函数的单调减区间是，单调增区间为． 7分

（2）（1）当时，由（1）可知，在上单调递减，

所以的最小值为，解得，舍去．

（2）当时，由（1）可知，

①当，即时，函数在上单调递增，

所以函数的最小值为，解得．

②当，即时，函数在上单调递减，

在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．

③当，即时，函数在上单调递减，

所以函数的最小值为，得，舍去．

综上所述，． 13分

考点：函数与导数，函数的单调性，函数最值．