Question

已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer

（1）椭圆的方程是；（2）线段为直径的圆过轴上的定点．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的方程，已知椭圆经过点，离心率为，故可用待定系数法，利用离心率可得，利用过点，可得，再由，即可解出，从而得椭圆的方程；（2）这是探索性命题，可假设以线段为直径的圆过轴上的定点，则，故需表示出的坐标，因为点是椭圆的右顶点，所以点，设，分别写出直线与的方程，得的坐标，由，得，因此由得，则式方程的根，利用根与系数关系得，，，代入即可．

试题解析：（1）由题意得，解得，．

所以椭圆的方程是． 4分

（2）以线段为直径的圆过轴上的定点.

由得．

设，则有，．

又因为点是椭圆的右顶点，所以点．

由题意可知直线的方程为，故点．

直线的方程为，故点．

若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．

又因为，，

所以恒成立．

又因为，

，

所以．解得．

故以线段为直径的圆过轴上的定点． 14分

考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线定点问题．