Question

从中这个数中取（，）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为．

（1）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；

（2）求；

（3）求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）符合要求的递增等差数列全部列出，即可求出的值；（2）求，即从到个数中取个，组成递增等差数列，由等差数列的性质知，故分别取，讨论各种情况下，数列的个数，如时，分别取，共可得个符合要求的数列，以此类推，即可得到其他情况的符合要求的数列的个数，加起来的和即为符合要求数列的个数，即得的值；（3）求证：，由（2）的求解过程可知，首先确定的范围，即，由于只能取正整数，故取的整数部分是，即，的可能取值为，计算出，利用即可证得结论．

试题解析：（1）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.

所以. 3分

（2）设满足条件的一个等差数列首项为，公差为，.

，，的可能取值为．

对于给定的，， 当分别取时，可得递增等差数列个（如：时，，当分别取时，可得递增等差数列91个：；；；，其它同理）.

所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为：

． 8分

（3）设等差数列首项为，公差为，

，，

记的整数部分是，则，即．

的可能取值为，

对于给定的，，当分别取时，可得递增等差数列个.

所以当取时，得符合要求的等差数列的个数

易证．

又因为，，

所以．

所以

．

即． 13分

考点：等差数列的性质，数列求和．