Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.

（1）若M是FC的中点，求证：直线//平面；

（2）求证：BD⊥；

（3）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.

Answer

（1）详见解析，（2）详见解析，（3）不能垂直.

【解析】

试题分析：（1）折叠问题注意折叠前后直线平行与垂直关系是否变化，若不变，则成为隐含条件.本题中，折叠前,分别为中点，所以//，且折叠后仍不变，这就是证线面平行的关键条件.应用线面平行判定定理证明时，需写全定理所需全部条件.（2）同样，折叠前，折叠后这一条件对应变化为，由线面垂直判定定理可证结论.注意必须交代是平面中两条相交直线.（3）判断直线与直线CD能否垂直，从假设垂直出发比较好推理论证.若直线与直线CD垂直，又由可得,即有因而可推得,即有，又在同一平面内，所以与重合，这与题意矛盾.

试题解析：【解析】

（1）因为,分别为中点，所以// 2分

又，

所以. 4分

（2）因为，且

所以 7分

又

所以 9分

（3）直线与直线不能垂直 10分

因为,,,

，

所以. 12分

因为，所以，

又因为，所以.

假设，

因为，，

所以， 13分

所以，

这与为锐角矛盾

所以直线与直线不能垂直. 14分

考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理