Question

已知是椭圆上两点，点的坐标为.

（1）当关于点对称时，求证：；

（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.

Answer

（1）详见解析，（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.

试题解析：（1）证明：

因为在椭圆上，

所以 1分

因为关于点对称，

所以， 2分

将代入②得③，

由①和③消解得， 4分

所以. 5分

（2）当直线斜率不存在时，，

可得，不是等边三角形. 6分

当直线斜率存在时，显然斜率不为0.

设直线：，中点为，

联立消去得， 7分

由，得到① 8分

又,

所以，

所以 10分

假设为等边三角形，则有，

又因为，

所以，即， 11分

化简，解得或 12分

这与①式矛盾，所以假设不成立.

因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分

考点：弦中点问题，点代法求点的坐标