Question

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.

（1）试判断：与：是否互为正交点列，并说明理由；

（2）求证：：不存在正交点列；

（3）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.

Answer

（1）是，（2）详见解析，（3）存在.

【解析】

试题分析：（1）按照及时定义进行逐条判断.首先两点列的起点和终点分别相同，分别为然后要判断及是否成立，经计算可知成立，所以互为正交点列，（2）证明不存在问题，还是从假设存在出发，利用条件化简得出矛盾，否定假设，肯定结论.假设互为正交点列，则可设，利用相同，得出方程组，因为，方程②不成立，即方程组无解，假设不成立.（3）探索性问题，也是从存在角度出发，利用条件，得出等量关系，研究等量关系解的情况，就可解决问题.同（2）的解题思想，也是利用向量垂直，由设，再利用相同，得出方程组.根据是一对互质整数，取,，等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列.

试题解析：【解析】

（1）有序整点列与互为正交点列. 1分

理由如下：

由题设可知,,

因为,

所以.

所以整点列与互为正交点列. 3分

（2）证明：由题意可得，

设点列是点列的正交点列，

则可设,

因为相同，所以有

因为，方程②不成立，

所以有序整点列不存在正交点列. 8分

（3）存在无正交点列的整点列. 9分

当时，设其中是一对互质整数，

若有序整点列是点列的正交点列,

则，由

得

取,

由于是整点列，所以有.

等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，

所以存在无正交点列的整点列.等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，

所以存在无正交点列的整点列. 13分

考点：向量垂直，新定义问题