Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示.

（1）求证：AE⊥平面BCD；

（2）求二面角A–DC–B的余弦值．

（3）在线段上是否存在点使得平面？若存在,请指明点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）详见解析，（2），（3）

【解析】

试题分析：（1）已知条件为面面垂直，，因此可利用定理转化为线面垂直.折叠前后皆有而平面，为两平面的交线，由平面ABD平面BCD，可得AE⊥平面BCD.（2）求二面角，有两个方法，一是做出二面角的平面角，二是利用空间向量.本题由于有AE⊥平面BCD，可利用三垂线定理及其逆定理做出二面角的平面角，即过点E作EM垂直CD于M，连AM，则AM垂直CD，所以为二面角的平面角.利用空间向量求二面角，关键求出面的法向量，由于平面可知平面DCB的法向量为.平面的法向量可列方程组求出，再利用向量的数量积求出其夹角的余弦值.（3）探索点，从线面平行性质定理出发，利用平面得EM平行过EM平面与平面的交线.由于过EM平面的任意性，难以确定M位置.本题利用空间向量解决就比较简单，设，利用法向量与平面内任一直线垂直，可解出，从而确定M位置.

试题解析：（1）因为平面平面，交线为，

又在中，于，平面

所以平面. 3分

（2）由（1）结论平面可得.

由题意可知，又.

如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

4分

不妨设，则.

由图1条件计算得，，，

则 5分

.

由平面可知平面DCB的法向量为. 6分

设平面的法向量为，则

即

令，则，所以. 8分

平面DCB的法向量为

所以，

所以二面角的余弦值为 9分

（3）设，其中.

由于，

所以，其中 10分

所以 11分

由，即 -12分

解得. 13分

所以在线段上存在点使，且. 14分

考点：面面垂直性质定理，空间向量求二面角.