Question

已知是椭圆上两点，点M的坐标为.

（1）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；

（2）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形.

Answer

（1）或，（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求的长，实际求出坐标.利用正三角形性质列等量关系.设,，则.又点在椭圆上，所以解得或，或，（2）本题实际应用逆否命题与原命题等价进行解题，即当为等边三角形时，两点必关于轴对称，即横坐标相等.设，则由，可化简，同理可得，而，因此或又所以.

试题解析：【解析】

（1）设,， 1分

因为为等边三角形，所以. 2分

又点在椭圆上，

所以消去， 3分

得到，解得或， 4分

当时，；

当时，. 5分

{说明：若少一种情况扣2分}

（2）法1：根据题意可知，直线斜率存在.

设直线:，，，中点为，

联立消去得， 6分

由得到① 7分

所以,

， 8分

所以，又

如果为等边三角形，则有， 9分

所以，即， 10分

化简，② 11分

由②得，代入①得，

化简得，不成立， 13分

{此步化简成或或都给分}

故不能为等边三角形. -14分

法2：设，则，且，

所以， 8分

设，同理可得，且 9分

因为在上单调

所以，有， 11分

因为不关于轴对称，所以.

所以， -13分

所以不可能为等边三角形. 14分

考点：直线与椭圆位置关系