Question

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.

（1）求：的正交点列；

（2）判断：是否存在正交点列？并说明理由；

（3）N，是否都存在无正交点列的有序整点列？并证明你的结论.

Answer

（1），（2）不存在，（3）存在.

【解析】

试题分析：（1）因为与的起点和终点分别相同，所以，只需求.由及，可解得本题实质考查对新定义的理解.关键逐条代入验证.（2）与（1）相似，从求角度出发，能求出来就存在，否则就不存在.首先有求时，不是设四个未知数，二是利用向量垂直关系，设三个未知数，即，因为相同，所以有因为，所以方程组显然不成立，即不存在.

（3）按照（1）的思路，要保证方程组无解，须使得整数尽量取，①当为偶数时，取.②当为奇数时，取,,就可满足题意.

试题解析：【解析】

（1）设点列的正交点列是,

由正交点列的定义可知,设，

，，

由正交点列的定义可知,,

即解得

所以点列的正交点列是. 3分

（2）由题可得，

设点列是点列的正交点列，

则可设,

因为相同，所以有

因为，方程（2）显然不成立，

所以有序整点列不存在正交点列； 8分

（3），都存在整点列无正交点列. 9分

，设其中是一对互质整数，

若有序整点列是点列正交点列,

则，

则有

①当为偶数时，取.

由于是整点列，所以有，.

等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，

所以该点列无正交点列；

②当为奇数时，

取,,

由于是整点列，所以有，.

等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，

所以该点列无正交点列.

综上所述，，都不存在无正交点列的有序整数点列 13分

考点：向量的数量积，数列应用