Question

给定正整数，若项数为的数列满足：对任意的，均有（其中），则称数列为“Γ数列”．

（1）判断数列和是否是“Γ数列”，并说明理由；

（2）若为“Γ数列”，求证：对恒成立；

（3）设是公差为的无穷项等差数列，若对任意的正整数，

均构成“Γ数列”，求的公差．

Answer

（1）数列不是“数列”； 数列是“数列”；（2）详见解析；（3）数列的公差．

【解析】

试题分析：（1）判断数列和是否是“Γ数列”，根据“Γ数列”的定义，对任意的，均有，只要每一项都满足，就是“Γ数列”，有一项不满足就不是“Γ数列”，对于数列，，观察数列中的项，都大于，顾不符合定义，对于数列，，观察数列中的每一项，都小于，符合定义，故是“Γ数列”；（2） 若为“Γ数列”，求证：对恒成立，本题直接证明似乎无从下手，因此可用反证法，即假设存在某项，把它作为条件，可得，设，得出，显然这与“数列”定义矛盾，从而得证；（3）求的公差，由（2）可知，分，与，两种情况讨论，当易证符合，当时，显然是递增数列，由“数列”的定义可知，即，整理得，当时，不等式不成立，故不是“数列”，因此得公差.

（1）①因为，数列不是“数列”， 2分

②因为，又是数列中的最大项

所以数列是“数列”. 4分

（2）反证法证明：

假设存在某项，则

.

设，则

，

所以，即，

这与“数列”定义矛盾，所以原结论正确. 8分

（3）由（2）问可知.

①当时，，符合题设； 9分

②当时，

由“数列”的定义可知，即

整理得（*）

显然当时，上述不等式（*）就不成立

所以时，对任意正整数，不可能都成立.

综上讨论可知的公差. 13分

考点：新定义，等差数列的通项公式．