Question

已知椭圆的离心率为，其短轴两端点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.判断以为直径的圆是否过点，并说明理由.

Answer

（1）椭圆的标准方程为；（2）点不在以线段为直径的圆上．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，已知椭圆的离心率为,短轴端点分别为，可设椭圆方程为，由，可得，从而得椭圆的标准方程；（2）由于,是椭圆上关于轴对称的两个不同点，可设则，若点在以线段为直径的圆上，则，即，即，因此可写出直线的方程为，令，得，写出直线的方程为，令，求得.写出向量的坐标，看是否等于０，即可判断出．

（1）由已知可设椭圆的方程为：. 1分

由，可得, 2分

解得, 3分

所以椭圆的标准方程为. 4分

（2）法一：

设且，则. 5分

因为,

所以直线的方程为. 6分

令，得，所以. 7分

同理直线的方程为，求得. 8分

9分

所以, 10分

由在椭圆：上，所以, 11分

所以, 13分

所以,

所以，以线段为直径的圆不过点. 14分

法二：因为关于轴对称，且在轴上

所以. 5分

因为在轴上，又关于轴对称

所以, 6分

所以, 7分

所以, 8分

设且，则. 9分

因为, 11分

所以, 12分

所以, 13分

所以，以线段为直径的圆不过点. 14分

法三：设直线的方程为，则， 5分

化简得到，

所以，所以, 6分

所以,

所以， 7分

因为关于轴对称，所以. 8分

所以直线的方程为，即. 10分

令，得到，所以. 11分

, 12分

所以, 13分

所以,以线段为直径的圆恒过和两点. 14分

{法4 :转化为文科题做，考查向量的取值}

考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，圆的性质．