Question

如图，已知四棱锥，，，

平面，∥，为的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求四棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.本题利用平行四边形找平行，取中点，则易得；所以四边形为平行四边形，即得应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）证明面面垂直，关键证线面垂直.分析条件知，须证平面，由（1）知，只需证平面.因为为等边三角形，为的中点 ，所以 ；又可由平面得，这样就可由线面垂直判定定理得到平面.（3）求三棱锥体积，关键找出高线或平面的垂线.利用面面垂直可找出面的垂线.因为平面，所以面平面，过A作两平面交线的垂线，则有平面.因为为等边三角形，所以为中点.

试题解析：

【解析】
（1）取中点，连结，，

分别是，的中点，

∥，且.

∥， 2分

与平行且相等.

四边形为平行四边形，

∥. 3分

又平面，平面.

∥平面. 4分

（2）为等边三角形，为的中点，

. 5分

又平面，平面.

， 6分

又，

平面. 7分

∥，平面， 8分

平面，

平面平面. 10分

（3）取中点,连结.

,

.

平面，平面

，

又，

平面，

是四棱锥的高，且， 12分

. 14分

考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理