Question

已知函数．

（1）若在处取得极值，求实数的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若在上没有零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.

【解析】

试题分析：（1）求函数极值分四步，一是求函数定义域，二是求函数导数，三是根据导数为零将定义区间分割，讨论导数值正负，；，，，四是根据导数符号变化确定极值点；（2）利用导数求函数单调性，也是四个步骤.一是求出定义域：，二是求导数，三是分析导数符号变化情况，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为,增区间； （3）在上没有零点，即在上恒成立,也就是或，又，只须在区间上.以下有两个思路，一是求最小值，需分类讨论，当时，.当时，当时，二是变量分离，，只需求函数的最小值.

试题解析：【解析】
（1）的定义域为. 1分

. 2分

在处取得极值，

，解得或（舍）. 3分

当时，，；，，

所以的值为. 4分

（2）令，解得或（舍）. 5分

当在内变化时，的变化情况如下：

↘

极小值

↗

由上表知的单调递增区间为，单调递减区间为. 8分

（3）要使在上没有零点，只需在上或，

又，只须在区间上.

（ⅰ）当时，在区间上单调递减，

，

解得 与矛盾. 10分

（ⅱ） 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，

解得，所以. 12分

（ⅲ）当时，在区间上单调递增，，满足题意.

综上，的取值范围为. 13分

考点：利用导数求函数极值、单调区间、取值范围