Question

设函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（3）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.

Answer

（1）减区间为,增区间，（2），（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：，二是求导数，三是分析导数符号变化情况：，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为,增区间.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数在区间上是减函数，所以对任意恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即对任意恒成立. 因此（3）求切点问题，从设切点出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.

试题解析：解: （1）时, ，

， 1分

，

的减区间为,增区间. 3分

（2）

在区间上是减函数，

对任意恒成立，

即对任意恒成立， 5分

对任意恒成立，

令，

， 7分

易知在单调递减，.

. 8分

（3）设切点为，，

切线的斜率，又切线过原点，

，

存在性：满足方程，

所以，是方程的根. 11分

再证唯一性：设，，

在单调递增，且，

所以方程有唯一解.

综上，切点的横坐标为. 13分

考点：利用导数求函数性质