Question

对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．

（1）写出的所有可能值；

（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；

（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．

Answer

（1）（2）（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）列举出数列所有可能情况，共种，分别计算和值为，本题目的初步感观生成数列（2）已知和项解析式，则可利用求通项. 当时，，而当且仅当时，才成立．所以（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合的个数及其表示形式.首先集合的个数最多有种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由得分子必是奇数，奇数个数由范围确定.

试题解析：【解析】
（1）由已知，，，

∴，

由于，

∴可能值为． 3分

（2）∵，

当时，，

当时，，

，， 5分

∵是的生成数列，

∴；；；

∴

在以上各种组合中，

当且仅当时，才成立．

∴． 8分

（3）共有种情形．

，即，

又，分子必是奇数，

满足条件的奇数共有个． 10分

设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项．

由于，不妨设，

则

，

所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有．12分

∴共有种情形，其值各不相同．

∴可能值必恰为，共个．

即所有可能值集合为． 13分

注：若有其它解法，请酌情给分】

考点：已知和项求通项，数列综合