Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）先由底面为矩形得到，然后利用直线与平面平行的判定定理即可证明平面；（2）先证平面，于是得到，然后再利用三线合一得到，然后利用直线与平面垂直的判定定理即可得到平面；（3）利用（2）中的结论平面，结合条件平面平面，得到平面，连接交于点，利用直线与平面平行的性质定理得到，最后利用相似三角形来求的值.

试题解析：（1）因为底面是矩形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）因为，，，

所以平面，

又因为平面，

所以.

因为，且为中点，

所以.

又因为，

所以平面.

（3）如图，连接交于点，在平面中过作交于点，连接、.

因为平面，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

在矩形中，因为，

所以.

在中，因为，

所以.

则在棱上存在点，使得平面平面，此时.

考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.直线与平面垂直