Question

已知椭圆的焦距为，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程.

（2）设斜率为的直线与相交于、两点，记面积的最大值为，证明：.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用题干中的已知条件分别求出、、，从而写出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，借助韦达定理求出弦长，并求出原点到直线的距离，然后以为底边，为高计算的面积，利用基本不等式验证时和时的最大面积与，从而证明题中的结论.

试题解析：（1）由题意，得椭圆的半焦距，右焦点，上顶点，

所以直线的斜率为，

解得，

由，得，

所以椭圆W的方程为；

（2）设直线的方程为，其中或，，.

由方程组得，

所以，（*）

由韦达定理，得，.

所以.

因为原点到直线的距离，

所以，

当时，因为，

所以当时，的最大值，

验证知（*）成立；

当时，因为，

所以当时，的最大值；

验证知（*）成立.

所以.

注：本题中对于任意给定的，的面积的最大值都是.

考点：1.椭圆的方程；2.弦长公式；2.点到直线的距离；4.基本不等式