Question

在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.

（1）试写出数列的一个项子列，并使其为等比数列；

（2）如果为数列的一个项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；

（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：.

Answer

（1）答案不唯一.如项子列：、、；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中的定义写出一个项子列即可；（2）根据定义得到，利用数列的定义与单调性得到，然后由得到，从而证明；（3）注意到数列各项均为有理数，从而得到数列的公比为正有理数，从而存在、使得，并对是否等于进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明.

试题解析：（1）答案不唯一.如项子列：、、；

（2）由题意，知，

所以.

因为，，，

所以，

解得.

所以.

（3）由题意，设的公比为，

则.

因为为的一个项子列，

所以为正有理数，且，.

设，且、互质，.

当时，

因为，

所以

，

所以.

当时，

因为是中的项，且、互质，

所以，

所以

.

因为，、，

所以.

综上，.

考点：1.新定义；2.等比数列求和