Question

如下图，在四棱柱中，底面和侧面都

是矩形，是的中点，，.

（1）求证：

（2）求证：平面；

（3）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

 

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件得到，，从而证明平面，得到再结合证明平面，从而得到；（2）连接、证明四边形为平行四边形，连接对角线的交点与点的连线为的中位线，再利用线面平行的判定定理即可证明平面；（3）在（1）的前提条件中平面下，选择以点为坐标原点，、分别为轴、轴的空间直角坐标系，设，利用法向量将条件“平面与平面所成的锐二面角的大小为”进行转化，从而求出的长度.

试题解析：（1）因为底面和侧面是矩形，

所以，，

又因为，

所以平面，

因为平面，

所以；

（2）因为，，

所以四边形是平行四边形.

连接交于点，连接，则为的中点.

在中，因为，，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面；

（3）由（1）可知，

又因为，，

所以平面.

设G为AB的中点，以E为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴

如图建立空间直角坐标系，

设，则、、、、、，

设平面法向量为，

因为，，

由，得

令，得.

设平面法向量为，

因为，，

由得

令，得.

由平面与平面所成的锐二面角的大小为，

得，

解得.

考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行；3.二面角；4.空间向量法