Question

已知函数，其中.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）如果对于任意、，且，都有，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数的解析式，求出切点坐标与，再利用点斜式写出相应的切线方程；（2）将问题等价于在上单调递增来处理，然后分别考虑函数和

的单调性与极值，利用两个函数的图象确定直线的位置，利用来进行限制，从而求解出实数的取值范围.

试题解析：（1）由题意，得，其中，

所以，

又因为，

所以函数的图象在点处的切线方程为；

（2）先考察函数，的图象，

配方得，

所以函数在上单调递增，在单调递减，且.

因为对于任意、，且，都有成立，

所以.

以下考察函数，的图象，

则，

令，解得.

随着变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

即函数在上单调递减，在上单调递增，且.

因为对于任意、，且，都有成立，

所以.

因为（即），

所以的取值范围为.

考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性与导数