Question

如图，在正方体中，，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，并说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）在正方体棱上使得的点有12个.

【解析】

试题分析：（1）求证：平面平面，证明两平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，注意到本题是一个正方体，因此可证平面即可；（2）求证：平面，证明线面平行，即证线线平行，即在平面内找一条直线与平行，注意到为的中点，为的中点，可连接，，设，连接，证明即可，即证四边形是平行四边形即可；（3）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，由（2）可知，，且，故点符合，有正方体的特征，可知，，故是点到的最短距离，故这样的点就一个，同理在其他棱上各有一个，故可求出满足条件的点的个数．

（1）在正方体中，

因为 平面，平面，

所以平面平面. 4分

（2）证明：连接，，设，连接.

因为为正方体，

所以 ，且，且是的中点，

又因为是的中点，

所以 ，且，

所以 ，且，

即四边形是平行四边形，

所以， 6分

又因为 平面，平面，

所以 平面. 9分

（3）满足条件的点P有12个. 12分

理由如下：

因为 为正方体，，

所以 .

所以 . 13分

在正方体中，

因为 平面，平面，

所以 ，又因为 ，所以 ，

则点到棱的距离为，

所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于，

同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，

所以在正方体棱上使得的点有12个. 14分

考点：面面垂直的判断，线面平行的判断，点到直线距离．