Question

已知函数，其中.

（1）若，求函数的定义域和极值；

（2）当时，试确定函数的零点个数，并证明.

Answer

（1）定义域为，且，当时，函数有极小值；（2）函数存在两个零点．

【解析】

试题分析：若，求函数的定义域和极值，把代入得函数，故可求得函数的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当时，试确定函数的零点个数，即求函数的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．

（1）函数的定义域为，且. 1分

. 3分

令，得，

当变化时，和的变化情况如下：

↘

↘

↗

4分

故的单调减区间为，；单调增区间为．

所以当时，函数有极小值. 5分

（2）结论：函数存在两个零点.

证明过程如下：

由题意，函数，

因为 ，

所以函数的定义域为. 6分

求导，得， 7分

令，得，，

当变化时，和的变化情况如下：

↗

↘

↗

故函数的单调减区间为；单调增区间为，．

当时，函数有极大值；当时，函数有极小值. 9分

因为函数在单调递增，且，

所以对于任意，. 10分

因为函数在单调递减，且，

所以对于任意，. 11分

因为函数在单调递增，且，，

所以函数在上仅存在一个，使得函数， 12分

故函数存在两个零点（即和）. 13分

考点：函数的极值，根的存在性定理．