Question

设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆W相交于两点.

（1）求的周长；

（2）如果为直角三角形，求直线的斜率.

Answer

（1）的周长为；（2）直线的斜率，或时，为直角三角形．

【解析】

试题分析：（1）求的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得，，两式相加即得的周长；（2）如果为直角三角形，求直线的斜率，由于没教得那一个角为直角，故三种情况，，或，或，当时，此时直线的存在，设出直线方程，代入椭圆方程，设，，由根与系数关系，得到关系式，再由，即可求出斜率的值，当（与相同）时，则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，求出点的坐标，从而可得直线的斜率．

（1）椭圆的长半轴长，左焦点，右焦点， 2分

由椭圆的定义，得，，

所以的周长为. 5分

（2）因为为直角三角形，

所以，或，或，再由当时，

设直线的方程为，，， 6分

由 得 ， 7分

所以 ，. 8分

由，得， 9分

因为，，

所以

， 10分

解得. 11分

当（与相同）时，

则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，

由 解得，或， 13分

根据两点间斜率公式，得，

综上，直线的斜率，或时，为直角三角形. 14分

考点：焦点三角，直线与椭圆位置关系．