Question

在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.

（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；

（2）若为等比数列，且，求的值；

（3）若为等差数列，求出所有可能的数列.

Answer

（1），，；（2）；（3）得

【解析】

试题分析：（1）根据使得成立的的最大值为，，则，，则，，则，这样就写出，，的值；（2）确定，，，，，，分组求和，即可求的值；（3）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列．

（1） ，，. 3分

（2）因为为等比数列，，，

所以， 4分

因为使得成立的的最大值为，

所以，，，，

，， 6分

所以. 8分

（3）由题意，得，

结合条件，得. 9分

又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，

所以，. 10分

设，则.

假设，即，

则当时，；当时，.

所以，.

因为为等差数列，

所以公差，

所以，其中.

这与矛盾，

所以. 11分

又因为，

所以，

由为等差数列，得，其中. 12分

因为使得成立的的最大值为，

所以，

由，得. 13分

考点：等差数列与等比数列的性质．