Question

已知函数，其中.

（1）若，求函数的极值；

（2）当时，试确定函数的单调区间.

Answer

（1）当时，函数有极小值；（2）当 时，的单调减区间为，单调增区间为，；当 时，函数在单调递增；当 时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．

【解析】

试题分析：（1）若，求函数的极值，把代入得函数，求它的极值，首先求定义域，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当时，试确定函数的单调区间，由于含有指数函数，可通过求导数来确定函数单调区间，因此先确定函数的定义域为，对函数求导，令，解不等式即可，但由于含有参数，需对参数讨论，分，，三种情况讨论，从而确定出单调区间．

（1）函数的定义域为，且. 1分

. 3分

令，得，当变化时，和的变化情况如下：

↘

↘

↗

5分

故的单调减区间为，；单调增区间为．

所以当时，函数有极小值. 6分

（2）因为 ，所以 ，

所以函数的定义域为， 7分

求导，得， 8分

令，得，， 9分

当 时，，

当变化时，和的变化情况如下：

↗

↘

↗

故函数的单调减区间为，单调增区间为，． 11分

当 时，，

因为，（当且仅当时，）

所以函数在单调递增. 12分

当 时，，

当变化时，和的变化情况如下：

↗

↘

↗

故函数的单调减区间为，单调增区间为，．

综上，当 时，的单调减区间为，单调增区间为，；当 时，函数在单调递增；当 时，函数的单调减区间为；单调增区间为，． 13分

考点：函数的极值，利用导数判断单调性．