Question

设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.

（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；

（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.

Answer

（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．

（1）椭圆的右焦点为， 1分

因为线段的中点在y轴上，

所以点的横坐标为，

因为点在椭圆上，

将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分

所以直线（即）的方程为或. 5分

（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），

要证点与点关于轴对称，

只要证点与点C重合，.

又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），

所以只要证明点，，三点共线. 7分

以下给出证明：

由题意，设直线的方程为,,，则.

由

得 ， 9分

所以 ，

，. 10分

在中，令，得点的坐标为，

由，得点的坐标为， 11分

设直线，的斜率分别为，，

则 ， 12分

因为

， 13分

所以 ，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分

考点：直线与椭圆综合问题．