Question

在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.

（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；

（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；

（3）设，，求的值.（用表示）

Answer

（1），，；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据使得成立的的最大值为，，则，，则，，则，这样就写出，，的值；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出的值．

（1） ，，. 3分

（2）由题意，得，

结合条件，得. 4分

又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，

所以，. 5分

设，则.

假设，即，

则当时，；当时，.

所以，.

因为为等差数列，

所以公差，

所以，其中.

这与矛盾，

所以. 6分

又因为，

所以，

由为等差数列，得，其中. 7分

因为使得成立的的最大值为，

所以，

由，得. 8分

（3）设，

因为，

所以，且，

所以数列中等于1的项有个，即个； 9分

设，

则， 且，

所以数列中等于2的项有个，即个； 10分

以此类推，数列中等于的项有个. 11分

所以

.

即. 13分

考点：等差数列与等比数列的性质，数列求和．