在极坐标系中,过点且垂直于极轴的直线方程为( )
A. . B C. D.
已知集合,,则集合
A. B. C. D.
已知椭圆的离心率,长轴的左右端点分别为,.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动直线与曲线有且只有一个公共点,且与直线相交于点.
求证:以为直径的圆过定点.
【答案】(1);(2)答案详见解析.
【解析】
试题分析:(1)由已知,得,再根据离心率求,进而求,进而根据焦点位置求椭圆方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,得关于的一元二次方程,由题意,列方程得,同时可求出切点坐标,再求,要证明以为直径的圆过定点,只需证明即可,利用数量积的坐标运算可证明,本题最关键的是要注意点在圆上这个条件的运用.
试题解析:(1)由已知2分
,
椭圆的方程为;4分
(2),消去,得,则,可得,设切点,则,,故,又由,得,,,
,
以为直径的圆过定点..14分
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、向量垂直的充要条件.
【题型】解答题
【适用】较难
【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
在个实数组成的行列数表中,先将第一行的所有空格依次填上,,,再将首项为公比为的数列依次填入第一列的空格内,然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规律填写其它空格
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | 第4列 |
| 第列 |
第1行 |
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第2行 |
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第3行 |
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第4行 |
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第行 |
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(1)设第2行的数依次为.试用表示的值;
(2)设第3行的数依次为,记为数列.
①求数列的通项;
②能否找到的值使数列的前项()成等比数列?若能找到,的值是多少?若不能找到,说明理由.
已知函数,(其中常数)
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若存在实数使得不等式成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)先求导函数,由导数的几何意义知,利用直线的点斜式方程求切线方程;(2)依题意,只需在上成立,故转化为求函数在区间的最小值问题.的根,得,并讨论根定义域的位置,当,将定义域分段,并考虑导数的符号,判断函数大致图象,求函数的最小值;当时,函数单调性,利用单调性求函数的最小值,并列不等式,求参数的取值范围.
试题解析:(1)定义域
当时,,
,
曲线在处的切线方程为:.
(2),令,
在递减,在递增..
若存在实数使不等式成立,
只需在上成立,
①若,即时,
,即,.10分
②若,即时,,解得,故
综上所述:的取值范围.
考点:1、导数的几何意义;2、导数在单调性上的应用;3、利用导数求函数的极值、最值.
【题型】解答题
【适用】较难
【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
已知椭圆的离心率,长轴的左右端点分别为,.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动直线与曲线有且只有一个公共点,且与直线相交于点.
求证:以为直径的圆过定点.
如图在四棱锥中,底面是矩形,平面,,点是中点,点是边上的任意一点.
(1)当点为边的中点时,判断与平面的位置关系,并加以证明;
(2)证明:无论点在边的何处,都有;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)答案详见解析;(2)答案详见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)证明直线和平面平行的常用方法有两种:①证明直线和平面内的一条直线平行;②若两个平面平行,则一个平面内的直线平行于另一个平面.本题中,易证,进而证明面;(2)要证明直线和直线垂直,往往通过证明直线和平面垂直.本题中,只需证明面,因,故只需证明,进而转化为证明面,因,故只需证明,显然易证;(3)求四面体体积,难点是确定四面体的高,如果高不易求,可考虑等体积转化,本题中三棱锥的体积可转化为的体积来求.
试题解析:(1)当点为边的中点时,∵点是中点,∴,又∵面,面,∴面.
(2)∵平面,∴,又∵底面是矩形,∴,,∴面,又∵面,∴,又,点是中点,∴,又,∴面.平面,10分
(3)作∥交于,则平面,且
三棱锥的体积为.14分
考点:1、直线和平面平行的判定;2、直线和平面垂直的判定和性质;3、四面体的体积.
【题型】解答题
【适用】较难
【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
已知函数,(其中常数)
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若存在实数使得不等式成立,求的取值范围.
已知关于的一次函数
(1)设集合和,分别从集合和中随机取一个数作为,,求函数是增函数的概率;
(2)若实数,满足条件,求函数的图象不经过第四象限的概率.
【答案】(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)依题意,基本事件总数为8个,记“函数是增函数”为事件A,则,事件A包含的基本事件分别为:,,,,共4个,由古典概型的概率计算公式得,所求概率为;(2)本题还有两个变量,基本事件用有序实数对表示,画出不等式表示的平面区域,即基本事件空间,因为函数的图象不经过第四象限,则满足,由几何概型的概率计算公式,可计算其面积的比即为概率.
试题解析:(1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为
共8个4分
设函数是增函数为事件,,有4个7分
(2)实数,满足条件,要函数的图象不经过第四象限
则需使满足,即, 10分
设“函数的图象不经过第四象限”为事件B,则.
考点:1、一次函数的图象;2、古典概型;3、几何概型.
【题型】解答题
【适用】一般
【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
如图在四棱锥中,底面是矩形,平面,,点是中点,点是边上的任意一点.
(1)当点为边的中点时,判断与平面的位置关系,并加以证明;
(2)证明:无论点在边的何处,都有;
(3)求三棱锥的体积.