Question

如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，为的中点，是棱上一点，且.

（1）求证：平面；

（2）证明：∥平面；

（3）求二面角的度数.

Answer

（1）答案详见解析；（2）答案详见解析；（3）

【解析】

试题分析：

（1）常用的证明直线和平面垂直的方法有两种：①证明直线和平面内的两条相交直线垂直；②若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．本题易证，由平面平面，从而证明平面；（2）证明直线和平面平行的常用方法有两种：①证明直线和平面内的一条直线平行；②若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面．本题中，连接，交于，连接，易证，故，进而证明∥平面；（3）

选三条两两垂直的三条直线分别作为轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，分别求两个半平面的法向量并求其夹角，然后观察二面角是锐二面角还是钝二面角，从而决定取正或负角．

试题解析：（1）由已知，为的中点，，又因为平面平面，且平面平面=，面，∴平面．

（2）连接，交于，连接，因为底面是菱形，∴，∴∽，,∴,，又，,∴，又平面，平面，∴∥平面．

（3）连结，底面是菱形，且，是等边三角形，由（1）平面..以为坐标原点，分别为轴轴轴建立空间直角坐标系

则. 10分

设平面的法向量为，，注意到∥

，解得是平面的一个法向量 12分

又平面的法向量为，设二面角的大小为，，∴，即二面角二面角的度数为．

考点：1、直线平面垂直的判定；2、直线和平面平行的判断；3、二面角.