Question

已知函数（）

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义知，利用直线的点斜式方程求切线方程；（2）由题意，不等式恒成立，对于恒成立问题可考虑参变分离，也可以构造函数法，本题构造函数，等价于，故利用导数求函数的最大值，求的根，得或，讨论根的大小并和定义域比较，同时要注意分子二次函数的开口方向，通过判断函数大致图像，从而求函数的最大值，进而列不等式求的取值范围．

试题解析：（1）函数的定义域为．

当时，，，则，又切点为，故曲线在处的切线方程为．

（2）令定义域

在区间上，函数的图象恒在直线下方，等价于在恒成立，即，，令，得或，

当时，，故在单调递减，则，得；

当时，，当时，，单调递减；当时，单调递增，此时，故不可能，不合题意；

当时，在单调递增，，故不可能，不合题意．

综上：的取值范围．

考点：1、导数的几何意义；2、导数在单调性上的应用；3、利用导数求函数的极值、最值.