Question

已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，

【解析】

试题分析：（1）由已知，得，再根据离心率求，进而求，进而根据焦点位置求椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，得关于的一元二次方程，由题意，列方程得，同时可求出切点坐标，再求，设轴上存在满足条件的点，以为直径的圆恒过定点等价于，列方程得，由题意该方程与无关，故，从而求得点坐标，本题还可以先从特殊值入手，确定定点的坐标，再证明以为直径的圆恒过定点．

试题解析：（1）由已知 2分

，

椭圆的方程为； 4分

（2），消去，得，则，可得，设切点，则，，故，又由，得，设在上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，，即 10分

，

对满足恒成立，

，

故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点. 14分

考点：１、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、向量垂直的充要条件．