Question

如图：已知长方体的底面是边长为的正方形，高，为的中点，与交于点．

（1）求证：平面；

（2）求证：∥平面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）要证平面，就要在平面内找两条与垂直的相交直线，由于是正方形，因此有，而在长方体中，侧棱与底面垂直，从而一定有，两条直线找到了；（2）要证平面，就应该在平面内找一条直线与平行，观察图形发现平面与平面相交于直线（是与的交点），那么就是我们要找的平行线，这个根据中位线定理可得；（3）求三梭锥的体积，一般是求出其底的面积和高（顶点到底面的距离），利用体积公式得到结论，本题中点到底面的距离，即过到底面垂直的直线比较难以找到，考虑到三棱锥的每个面都是三角形，因此我们可以换底，即以其他面为底面，目的是高易求，由于长方体的底面是正方形，其中垂直关系较多，可证平面，即平面，因此以为底，就是高，体积可得.

试题解析：（1）底面是边长为正方形，

底面，平面 3分

，平面 5分

（2）连结，为的中点，为的中点

∥， 7分

又平面，平面

∥平面 10分

（3），，，

同样计算可得，为等腰三角形， 12分

，，等腰三角形的高为

14分

考点：（1）线面垂直；（2）线面平行；（3）几何体的体积.