Question

已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线（）与椭圆交于不同的两点、，且线段

的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，要找两个等式以确定，本题中有焦点为，说明，又有离心率，即，由此再加上可得结论；（2）直线与圆锥曲线相交问题，又涉及到交点弦，因此我们都是把直线方程（或设出）与椭圆方程联立方程组，然后消去（有时也可消去）得关于（或）的一元二次方程，再设交点为坐标为，则可得，，（用表示），于是中点坐标可得，其中，，而，从而建立了的一个等量关系，在刚才的一元二次方程中，还有判别式，合起来可得出关于的不等式，从而求出其范围.

试题解析：（1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，

，， 2分

椭圆的方程为 4分

（2），消去得 6分

直线与椭圆有两个交点，，可得（*） 8分

设，

，中点的横坐标

中点的纵坐标 10分

的中点

设中垂线的方程为：

在上，点坐标代入的方程可得（**） 12分

将（*）代入解得或，

14分

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线相交问题.