Question

已知函数的图象在点处的切线方程为

.

（1）求实数的值；

（2）设.

①若是上的增函数，求实数的最大值；

②是否存在点，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1） ；（2）①3；②存在，.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，又切线的斜率为，从而可列出关于的方程组，解得；（2）①由（1）得，它在区间上是增函数，说明在上恒成立，求得，那么，可变形为，因此我们只要求出在上的最小值即可，而求最小值时可用换元法.设；②从题意可知点若存在，则必是图象的对称中心，因此我们着重点在于寻找的对称中心，同时我们知道爱的渴，则图象的对称点心是，由于是由一个整式与一个分式相加，可以先考虑分式，使为常数，，再代入验证是不是为常数.

试题解析：（1）时，

， 2分

在直线上，，即

4分

，

（2）①

是上的增函数，

，

在上恒成立， 6分

令 则，

设， 在上恒成立 7分

恒成立，， 实数最大值为 9分

②由，

， 11分

表明：若点为图象上任意一点，则点也在图象上，

而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称.

这也表明存在点，使得过的直线若能与图象相交围成封闭图形，

则这两个封闭图形面积相等． 13分（其它解法相应给分）.

考点：导数与切线，导数与函数的单调性，不等式恒成立与函数的最值，函数图象的对称性.