Question

如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.

（1）求证：平面；   

（2）求二面角的余弦值；

（3）证明：在线段上存在点，使∥平面，并求的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．．

【解析】

试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证与平面内的两条相交直线垂直，如，虽然题中没有给出多少垂直关系，但有线段的长度，实际上在中应用勾股定理就能证明，同理可证，于是可得平面；（2）由于在（1）已经证明了两两垂直，因此解决下面的问题我们可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法解题.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，，，，，，，这样我们只要求出平面和平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角相等可互补可得所求二面角大小；（3）线段上的点的坐标可写为，这样若有平面，即与（2）中所求平面的法向量垂直，由此可出，若，说明在线段上存在符合题意的点，否则就是不存在.

试题解析：（1）证明：，，

，同理 2分

又，平面. 4分

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则 6分

平面的法向量为，

设平面的法向量为 7分

，由，，取 ， 8分

设二面角的平面角为

，二面角的余弦值为. 10分

（3）假设存在点，使∥平面，

令， 12分

由∥平面，，解得

存在点为的中点，即． 14分

考点：线面垂直，空间向量与二面角，空间向量与线面平行.