Question

已知函数，其中为常数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在.

【解析】

试题分析：（1）由题意，而曲线在点处的切线的斜率为，因此先求导数，，得，故切线方程为；（2）这种存在性命题都是先假设存在，然后去求参数的值，如能求得，则存在，如求不出，说明假设错误，结论就是不存在，利用导数公式可得，极值点是使的点，本题中可得，由于已知条件是，可分类讨论，时，在上恒成立，即在上单调递减，无极值，当时，，通过讨论在上的符号，确定出的单调性，也即确定出极大值点有，极大值为，接下来考虑的是能否等于2，解方程是不可能的（可以猜测计算出），可讨论函数的单调性，确定其值域或最值。，因此在单调递增，从而，故无解，不存在.

试题解析：（1），，， 1分

， 3分

则曲线在处的切线方程为. 5分

（2）

的根为， 6分

，

当时，，在递减，无极值； 8分

当时，，在递减，在递增；

为的极大值， 10分

令，，

在上递增，，

不存在实数，使的极大值为. 13分

考点：导数与切线，导数与函数的单调性及函数的极值.