Question

已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线（）与椭圆交于、两点，线段 的垂直平分线交轴于点，当变化时,求面积的最大值.

Answer

（1）;（2）.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，要找两个等式以确定，本题中有焦点为，说明，又有离心率，即，由此再加上可得结论；（2）直线与圆锥曲线相交问题，又涉及到交点弦，因此我们都是把直线方程（或设出）与椭圆方程联立方程组，然后消去（有时也可消去）得关于（或）的一元二次方程，再设交点为坐标为，则可得，，（用表示），同时这个方程中判别式（直线与椭圆相交），可得出的取值范围.由此可由公式是直线的斜率得出弦长，中点横坐标为，进而可写出的中垂线方程，与相交的交点的坐标可得，于是有，这是关于的一个函数，利用函数的知识或不等式的性质可求得最大值.

试题解析：（1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，

，， 2分

椭圆的方程为 4分

（2），消去得

直线与椭圆有两个交点，，可得（*） 6分

设，

，，弦长， 8分

中点， 设，，，

， 11分

，时，， 14分

（或：

.

当且仅当时成立，.（用其它解法相应给分）

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线相交问题.