Question

已知集合，

具有性质：对任意的，至少有一个属于.

（1）分别判断集合与是否具有性质；

（2）求证：①；

②；

（3）当或时集合中的数列是否一定成等差数列?说明理由.

Answer

（1）有 ,没有；（2）证明见解析；（3）时，是等差数列，时，不一定.

【解析】

试题分析：（1）对于具体的集合，我们根据定义直接验证即可，如集合，

均属于集合，故个有性质，而集合，均不属于，则不具有性质；（2）易证，等式变形得，联想到等差数列的前项和求法，是不是有（这是成立的），（？），（？），…，由于，故，从而可看出只能是，，，…，，即成立，②式得证；（3）如果答案是肯定的，必须证明，如果答案是不确定的，则要举例说明，时，集合具有性质，但不是等差数列，和时，具有性质的集合中的数列是等差数列，时易证，首先，然后，即，故成等差，时，难一点，由（2）知，两式相减可得，而由于，即，则有，注意到，于是，又有，故数列是等差数列，

试题解析：（1）∵≒∴集合具有性质，

，，集合不具有性质. 3分

（2）由已知，，

则，仍由知； 5分

，，

6分

将上述各式两边相加得

，即； 8分

（3）当时，集合中的数列一定是等差数列.

由（2）知，且，

故，而这里，反之若不然

这与集合中元素互异矛盾，只能，即

成等差数列． 9分

当时，集合中的元素不一定是等差数列.

如，中元素成等差数列，

又如，中元素不成等差数列； 11分

当5时，集合中的元素一定成等差数列

证明：

令①②

②①有，且由①

，

，

又，

成等差数列． 13分

考点：新定义，新定义概念的应用，等差数列的判断,数列的综合应用.